�������� �.�. : �������� � ��������.

Òð¸õìåðíîå ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà

1. ������� "�������"

������� ������� � ����������� ���������, ����������� � ����� 70-�, � �������� 80-� ������ ����� � ������ ����������� � �������������. ����� ������� ���������� �� ���������� fractus � � �������� �������� ��������� �� ����������. ��� ���� ���������� ����� ������������� � 1975 ���� ��� ����������� ������������, �� ������������ ��������, �������� �� ���������. �������� ����������� ��������� ������� ��������� � ������� � 1977 ���� ����� ������������ `The Fractal Geometry of Nature'. � ��� ������� ������������ ������� ���������� ������ ������, ���������� � ������ 1875-1925 ����� � ��� �� ������� (��������, ����, �����, ������, ��������). �� ������ � ���� ����� ������� ���������� �� ������ � ������ �������. ���� ��������� � �������� ������� ������� ���������� ������. ��� �������� �� ������, ��������, ����� ���������, � ������� ���������� �������������, ������ ����� � ����������� ����� ������� �����. � ����� ������ �������� �������, ����������� ��������� ���������� ��� ��������� ������������� �������, ���, ����������� ����. ���������� ������ ������ ������� ������������� ������� ������������ ��������, ������ ������� ������ ������ �� ���������. ����� �� �������� ������� ��������� �������� �����������. � ����� ������� ������ ��������� ����� �������� �������� ���������� � ���� ��������.

�������������� ��������.

�������� ����� ������ ����� ���������. � ���������� ������ �� �������� � ������� ��������� ������� (��� ����������� � ���������� ������), ���������� �����������. �� ���� ��� ��������� ������ �� ��������, ������������ �������, ���������� �� �������-���������, � ��������������� ��������. � ���������� ������������ ���������� ���� ���������, ���������� �������������� �������. ������� 1 - ���������� �������� ������ ���. ���������� ���� �� ����� ����������� �������� - �������� ������ ��� [3]. ���������� ������ ���������� � ������� ��������� ����� (���.1) - ��� 0-� ��������� ������ ���. ����� ������ ����� (� ������� ��������� ���� �������) ���������� �� ���������� �������, ������������ �� ���.1 ����� n=1. � ���������� ����� ������ ���������� ��������� ��������� ������ ���. � 1-�� ��������� - ��� ������ �� ������� ������������� �������, ������ ������ �� 1/3. ��� ��������� 3 -�� ��������� ������������� �� �� �������� - ������ ����� ���������� �� ����������� ���������� �������. ����, ��� ��������� ������� ������������ ���������, ��� ������ ����������� ��������� ���������� �������� ����������� ���������� ���������. ������ n-�� ��������� ��� ����� �������� n ���������� �������������. �� ���.1 ������������ ���� ��������� ������. ��� n ����������� � ������������� ������ ��� ���������� ����������� �������� [3]. ������� 2 - ���������� "�������" �������-�������. ��� ��������� ������� ������������ ������� ����� �������� ������� ����������. ����� ���������� ��������� ����� ��� ������ �������, ����������� ��� ������ �����. � ������� ��������� ������� ��������� ������� �� ���� ���������� ������� ���, ����� ���� ��� ������. ����� �������, ��� ��� ����� ������ ���������� �������� �������� �����. ��� ���������� ��������� ��������� ����������� �������: ����� ������ ����� ����� ���������� �� ���������� ������� ���, ����� �������� ����� ��������� ����� �� ����������� ��������, � ��� ������ ��������� �������, ����������� �������� ������� �������� ������ ������������. �� ���.2 ������������ ��������� ������ ��������� � 11-� ��������� ������, ����������� �� �������������� ��������. ���������� ����������� ������ (��� n ����������� � �������������) ���������� �������� �������-������� [3]. � �������� ������� ������������� �������������� ��������� ���������� ��� ��������� ����������� ��������, ������, ��������� �����. ���������� �������������� �������� ������������ ��� �������� �������� ������� (������� �� ����������� �������) [2,3].

�������������� ��������.

��� ����� ������� ������ ���������. �������� �� � ������� ���������� ��������� � n-������ �������������. �������� ������� ���������� ��������. ������������� ���������� ������������ �������, ��� ���������� ������������ �������, ����� ����������� ������������� ������ ���� ������: ������� �������, �������������� �������, ��������� � �.�. ��������, ��� ���������� ������������ ������� �������� ���������� ����������� �����������. �� ���������, � ������� ��������� ������������ ������� ����� ���������� ����� ��������, ������� �� �� ���������� ���������. ������� ������ ���������� ��������� (��� ��� ������� - ���������) �������� ��������� �������� ��������� ���������, �� ������� ������� ����������� ������� � ��������������� �������� ���������. ����� ������� ������� ������������ ������� ����������� �� ������� ���������� �����������. ���� ������� �������� ���������� ������������, �� ��������� ������� ���������� ���������� �������, ����� �������� �������� ������� ������� ���� ������� (������������� ��������). ����� �������� ������ �����, ����� �������� ������� ����������� ������� � ������������ ������������� �������. �������������� ��� ����������� ����� ����������� � ������� ����������� ���������� ��������� ����� ������� ������������� ���������. ������� 3 - ��������� ������������. � �������� ������� ���������� ��������� ������������ (��. p��.3 � ���.4). �������� ��� ���������� ���������� ����� � ������� �� ������� ����������� ���������: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C, ��� Zi � C - ����������� ����������. �������� ����������� ��� ������ ��������� ����� C ������������� ��� ���������� ������� - ������������ ����������� ���������. ������������ ������� ������������ �� ��� ���, ���� Z[i] �� ������ �� ������� ���������� ������� 2, ����� ������� ����� � ����� (0,0), (��� ��������, ��� ��������� ������������ ������� ��������� � �������������), ��� ����� ���������� �������� ����� �������� (�������� 200-500) Z[i] �������� � ����� -������ ����� ����������. � ����������� �� ���������� ��������, � ������� ������� Z[i] ���������� ������ ����������, ����� ���������� ���� ����� C (���� Z[i] �������� ������ ���������� � ������� ���������� �������� ���������� ��������, ������������ ������� ������������ � ��� ����� ������ ������������ � ������ ����). ������� 4 - ������� ������� ��������� ������������, ����������� � 200 p��. ������������� �������� ���� ����������� � ��� ����������� ��������� ������������. ��������� ������������ ����������� �����, ������� � ������� ������������ ����� �������� �� ������ � ������������� (����� ������� ������ ����). ����� ������������� ������� ��������� (������ ��� ��������� ������� ���������) ������ � ������������� �� �������� ����� ��������, � ����� ������� �� ��������� ���������, ������ � ������������� ����� ��������� �������� (����� ���).

�������������� ��������.

��� ����� ��������� ������� ��������� �������� �������������� ��������, ������� ���������� � ��� ������, ���� � ������������ �������� ��������� ������� ������ �����-���� ��� ���������. ��� ���� ���������� ������� ����� ������� �� ��������� - �������������� �������, ���������� ��������� ����� � �.�. ��������� �������������� �������� ������������ ��� ������������� ������� ��������� � ����������� ���� [2]. ���������� � ������ ������������� ���������, �������� ������� ��������� �� ����������������� (�������������� � ��������������) � ������������������� (��������������).

3. ������� ����������� �������

����� "������ ����������� �������" (Iterated Functions System - IFS) �������� � �������� 80-� ����� ��� ������� �������� ��������� ����������� ��������. IFS ������������ ����� ������� ������� �� ���������� �������������� ������ �������, ������������ ���� ����������� ��������� �� ������. �������� ������� IFS ������� �� �������� �������������� ���������: X' = A*X + B*Y + C Y' = D*X + E*Y + F � 1988 ���� ��������� ������������ ����������� � ������ ������������ ������ � ������������ ������ ������� � ����� ���������� ��������� ����, ���������� �� ������������ ������ ������������ ������, ��� ������ � �������� ����������� ����������. ��� ������� ���� ����� ������� ������������ ������ ����������. ������������� �������� ������� � ���, ��� �������������� ������, ����������� � ���� ������, ������ ����� ����������� ������� � ������ ������������. �� ��������� ���� ���� ������� � ����� ������� ��������, �������, �� �� �����������, �������� ������� ���������� � 500-1000 ���. ������������� ����������� ������ �������� � [1]. ������� ����� ����� ������� ��������� �������. ����������� ���������� ����������� �������� ���������������� (� ����� ������ ���������), �.�. �������������� ���� �������������� (� ����� ������ A,B,C,D,E,F). ��������, ����������� �����-�� ����������� ����� ��������� ����������������, �� ���������� ���������� ��� � ������� 12-�� �������������. ���� ������ �������� �����-���� ��������� ������ (�������� X=0 Y=0) � ��������� ������������ �������, �� �� ����� ������ �������� ������� ��� �����, ����� ������ - ������, ����� ������� - ������ � �.�. ����� ��������� �������� �������� ������������ ���������� ����� ����� ��������� �������������� �����������. �� �������� ������� � ���, ��� ����� ������ ����� ������������ IFS, ������� ���������� �� ������������ �����������. ��� ���������� IFS ��������� ����� �������� � ������ ������ ������� �������������� ��������������, ������� �������� ��������� ������ ����������. ��������, �����������: X' = (A1*X + B1*Y + C1) / (D1*X + E1*Y + F1) Y' = (A2*X + B2*Y + C2) / (D2*X + E2*Y + F2) ��� ������������: X' = A1*X*X + B1*X*Y + C1*Y*Y + D1*X + E1*Y + F1 Y' = A2*X*X + B2*X*Y + C2*Y*Y + D2*X + E2*Y + F2 �������������� �� ���������. � �������� ������� ������������� IFS ��� ���������� ����������� ��������, ���������� ������ ���� (���.1) � "�������" �������-������� (���.2). ������� � ���� ���������� �������� ����� �, ��� ������ �� ��� �������� ������������ ��������� ��������������. � �������� ������ ����� �������� ������� �������� ��������������, ������� ���������� ������ �������� ������ �����������. ������� 5 - ��������� ��� ���������� IFS "�������" �������-�������. �������� IFS ��� "�������" �������-�������. ��� ����� ���������� ������ ��������� ����� �������� �� ����� ��������� ������� 640 x 350 (���.5). ��������� ����� ������������ ������� A, B, C. �� �������� ���������� ������ 2.1) � ����� �������� ��� �����, �������� ������ - �� ���.5 ��� ������� ADB � BEC. ���� ���������� ������ ���� ��������, ����� ��������� ������������ ���� �������� ��������������, ����������� ������� ABC � ADB � BEC: X' = -0.5*X -0.5*Y + 490 Y' = 0.5*X -0.5*Y + 120 X' = 0.5*X -0.5*Y + 340 Y' = 0.5*X +0.5*Y - 110 ��������� ��������� ��������� ������ (�������� X=0 Y=0) � ����������� �������� �� ��� ���� IFS, ����� ������� �������� �� ������ ������� ����������� ���������, ������������ �� ���.6, ������� ������������ ����� "������" �������-�������. ��� ����� (������ ���������) �������� ����� ������������� ���� �������� ��������������. ������� 6 - "������" �������-�������, ����p������ � ������� IFS � �p������������ 640x350. ���������� ����� ��������� IFS ��� ������ ���. �������� ������, ��� ��� ������ ����� ������ �����, �������� ����� ������ (������ 2.1 ��� 1.). ��� ���������� IFS ����� ���������� ������ ��������� ����� �������� �� ����� ��������� ������� 640 x 350 (���.7). ������� 7 - ��������� ��� ���������� IFS �p���� ���. ��� �� ���������� ��������� ����� �������� ��������������, ��������� �� ������� ��������������: X' = 0.333*X + 13.333 Y' = 0.333*Y + 200 X' = 0.333*X + 413.333 Y' = 0.333*Y + 200 X' = 0.167*X + 0.289*Y + 130 Y' = -0.289*X + 0.167*Y + 256 X' = 0.167*X - 0.289*Y + 403 Y' = 0.289*X + 0.167*Y + 71 ��������� ���������� ����� ��������� ������� ����� ������� �������� ����� ������� �� ���.8. ������� 8 - �p���� ���, ����p������ � ������� IFS � �p������������ 640x350. ������������� IFS ��� ������ ������� ����������� (�������� ����������) �������� �� ��������� ���������� �����������, � ������� �� ���������, ��� ����������� ���������� ����������� � ���������� IFS �� ������� ������ (�� ���� ������-��� � ���� ���������). �� ��������� ������� ���������� ��������� � ����������� ��� ��������, ������� �� ������� ������� �������, � ���������� ���������� �������������, ���������� ��������������, ����������� ������� ������� � �������. ���������, ����� ��������� "�������" �������� ��������� ��� �����������. ��� ���� � ����, ���������� ����������� ����� �������� �� ������ ������������, ��������������� ��������� ��������������, �� � �������������� � �������� ������� "�������" ��������, ������� ������ � �������������� ����� ��������� ��������� ����������� ����������� �����������. ����������������� ��������, � ���� ������, ������ ��������� ������ �������������� �� �� ����� ��������� �����, ������������ �� ���������� ���� ���������, � � ���������� �� ������������, �������������� �������, ��������������� ������������ ��������������.

����������������� ������

���������� �.�.,��������� �.�. ����������� ������ ����������� �� �������-������. ������� �. ���������� ��������� � �������� �������.> ����� �. ��������. ���. � ����.-�.: ���,1991.-254�. Application of fractals and chaos. 1993, Springer-Verlag, Berlin.