�������� �.�. : �������� � ��������.
1. ������� "�������"
������� ������� � ����������� ���������, ����������� � ����� 70-�, � ��������
80-� ������ ����� � ������ ����������� � �������������. ����� ������� ����������
�� ���������� fractus � � �������� �������� ��������� �� ����������. ��� ����
���������� ����� ������������� � 1975 ���� ��� ����������� ������������, ��
������������ ��������, �������� �� ���������. �������� ����������� ���������
������� ��������� � ������� � 1977 ���� ����� ������������ `The Fractal Geometry
of Nature'. � ��� ������� ������������ ������� ���������� ������ ������,
���������� � ������ 1875-1925 ����� � ��� �� ������� (��������, ����, �����,
������, ��������). �� ������ � ���� ����� ������� ���������� �� ������ � ������
�������.
���� ��������� � �������� ������� ������� ���������� ������. ��� �������� ��
������, ��������, ����� ���������, � ������� ���������� �������������, ������
����� � ����������� ����� ������� �����. � ����� ������ �������� �������,
����������� ��������� ���������� ��� ��������� ������������� �������, ���,
����������� ����. ���������� ������ ������ ������� ������������� �������
������������ ��������, ������ ������� ������ ������ �� ���������.
����� �� �������� ������� ��������� �������� �����������. � ����� ������� ������
��������� ����� �������� �������� ���������� � ���� ��������.
�������������� ��������.
�������� ����� ������ ����� ���������. � ���������� ������ �� �������� � �������
��������� ������� (��� ����������� � ���������� ������), ���������� �����������.
�� ���� ��� ��������� ������ �� ��������, ������������ �������, ���������� ��
�������-���������, � ��������������� ��������. � ���������� ������������
���������� ���� ���������, ���������� �������������� �������.
������� 1 - ���������� �������� ������ ���.
���������� ���� �� ����� ����������� �������� - �������� ������ ��� [3].
���������� ������ ���������� � ������� ��������� ����� (���.1) - ��� 0-�
��������� ������ ���. ����� ������ ����� (� ������� ��������� ���� �������)
���������� �� ���������� �������, ������������ �� ���.1 ����� n=1. � ����������
����� ������ ���������� ��������� ��������� ������ ���. � 1-�� ��������� - ���
������ �� ������� ������������� �������, ������ ������ �� 1/3. ��� ��������� 3
-�� ��������� ������������� �� �� �������� - ������ ����� ���������� ��
����������� ���������� �������. ����, ��� ��������� ������� ������������
���������, ��� ������ ����������� ��������� ���������� �������� �����������
���������� ���������. ������ n-�� ��������� ��� ����� �������� n ����������
�������������. �� ���.1 ������������ ���� ��������� ������. ��� n ����������� �
������������� ������ ��� ���������� ����������� �������� [3].
������� 2 - ���������� "�������" �������-�������.
��� ��������� ������� ������������ ������� ����� �������� ������� ����������.
����� ���������� ��������� ����� ��� ������ �������, ����������� ��� ������
�����. � ������� ��������� ������� ��������� ������� �� ���� ���������� �������
���, ����� ���� ��� ������. ����� �������, ��� ��� ����� ������ ����������
�������� �������� �����. ��� ���������� ��������� ��������� ����������� �������:
����� ������ ����� ����� ���������� �� ���������� ������� ���, ����� ��������
����� ��������� ����� �� ����������� ��������, � ��� ������ ��������� �������,
����������� �������� ������� �������� ������ ������������. �� ���.2 ������������
��������� ������ ��������� � 11-� ��������� ������, ����������� ��
�������������� ��������. ���������� ����������� ������ (��� n ����������� �
�������������) ���������� �������� �������-������� [3].
� �������� ������� ������������� �������������� ��������� ���������� ���
��������� ����������� ��������, ������, ��������� �����. ����������
�������������� �������� ������������ ��� �������� �������� ������� (������� ��
����������� �������) [2,3].
�������������� ��������.
��� ����� ������� ������ ���������. �������� �� � ������� ���������� ��������� �
n-������ �������������. �������� ������� ���������� ��������. �������������
���������� ������������ �������, ��� ���������� ������������ �������, �����
����������� ������������� ������ ���� ������: ������� �������, ��������������
�������, ��������� � �.�.
��������, ��� ���������� ������������ ������� �������� ���������� �����������
�����������. �� ���������, � ������� ��������� ������������ ������� �����
���������� ����� ��������, ������� �� �� ���������� ���������. ������� ������
���������� ��������� (��� ��� ������� - ���������) �������� ��������� ��������
��������� ���������, �� ������� ������� ����������� ������� � ���������������
�������� ���������. ����� ������� ������� ������������ ������� ����������� ��
������� ���������� �����������. ���� ������� �������� ���������� ������������,
�� ��������� ������� ���������� ���������� �������, ����� �������� ��������
������� ������� ���� ������� (������������� ��������). ����� �������� ������
�����, ����� �������� ������� ����������� ������� � ������������ �������������
�������. �������������� ��� ����������� ����� ����������� � ������� �����������
���������� ��������� ����� ������� ������������� ���������.
������� 3 - ��������� ������������.
� �������� ������� ���������� ��������� ������������ (��. p��.3 � ���.4).
�������� ��� ���������� ���������� ����� � ������� �� ������� �����������
���������:
Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,
��� Zi � C - ����������� ����������. �������� ����������� ��� ������ ���������
����� C ������������� ��� ���������� ������� - ������������ �����������
���������. ������������ ������� ������������ �� ��� ���, ���� Z[i] �� ������ ��
������� ���������� ������� 2, ����� ������� ����� � ����� (0,0), (��� ��������,
��� ��������� ������������ ������� ��������� � �������������), ��� �����
���������� �������� ����� �������� (�������� 200-500) Z[i] �������� � �����
-������ ����� ����������. � ����������� �� ���������� ��������, � �������
������� Z[i] ���������� ������ ����������, ����� ���������� ���� ����� C (����
Z[i] �������� ������ ���������� � ������� ���������� �������� ����������
��������, ������������ ������� ������������ � ��� ����� ������ ������������ �
������ ����).
������� 4 - ������� ������� ��������� ������������, ����������� � 200 p��.
������������� �������� ���� ����������� � ��� ����������� ���������
������������. ��������� ������������ ����������� �����, ������� � �������
������������ ����� �������� �� ������ � ������������� (����� ������� ������
����). ����� ������������� ������� ��������� (������ ��� ��������� �������
���������) ������ � ������������� �� �������� ����� ��������, � ����� ������� ��
��������� ���������, ������ � ������������� ����� ��������� �������� (�����
���).
�������������� ��������.
��� ����� ��������� ������� ��������� �������� �������������� ��������, �������
���������� � ��� ������, ���� � ������������ �������� ��������� ������� ������
�����-���� ��� ���������. ��� ���� ���������� ������� ����� ������� �� ���������
- �������������� �������, ���������� ��������� ����� � �.�. ���������
�������������� �������� ������������ ��� ������������� ������� ��������� �
����������� ���� [2].
���������� � ������ ������������� ���������, �������� ������� ��������� ��
����������������� (�������������� � ��������������) � �������������������
(��������������).
3. ������� ����������� �������
����� "������ ����������� �������" (Iterated Functions System - IFS) �������� �
�������� 80-� ����� ��� ������� �������� ��������� ����������� ��������.
IFS ������������ ����� ������� ������� �� ���������� �������������� ������
�������, ������������ ���� ����������� ��������� �� ������. �������� ������� IFS
������� �� �������� �������������� ���������:
X' = A*X + B*Y + C
Y' = D*X + E*Y + F
� 1988 ���� ��������� ������������ ����������� � ������ ������������ ������ �
������������ ������ ������� � ����� ���������� ��������� ����, ���������� ��
������������ ������ ������������ ������, ��� ������ � �������� �����������
����������. ��� ������� ���� ����� ������� ������������ ������ ����������.
������������� �������� ������� � ���, ��� �������������� ������, ����������� �
���� ������, ������ ����� ����������� ������� � ������ ������������.
�� ��������� ���� ���� ������� � ����� ������� ��������, �������, �� ��
�����������, �������� ������� ���������� � 500-1000 ���. �������������
����������� ������ �������� � [1]. ������� ����� ����� ������� ���������
�������. ����������� ���������� ����������� �������� ���������������� (� �����
������ ���������), �.�. �������������� ���� �������������� (� ����� ������
A,B,C,D,E,F).
��������, ����������� �����-�� ����������� ����� ��������� ����������������, ��
���������� ���������� ��� � ������� 12-�� �������������. ���� ������ ��������
�����-���� ��������� ������ (�������� X=0 Y=0) � ��������� ������������ �������,
�� �� ����� ������ �������� ������� ��� �����, ����� ������ - ������, �����
������� - ������ � �.�. ����� ��������� �������� �������� ������������
���������� ����� ����� ��������� �������������� �����������. �� �������� �������
� ���, ��� ����� ������ ����� ������������ IFS, ������� ���������� ��
������������ �����������.
��� ���������� IFS ��������� ����� �������� � ������ ������ �������
�������������� ��������������, ������� �������� ��������� ������ ����������.
��������, �����������:
X' = (A1*X + B1*Y + C1) / (D1*X + E1*Y + F1)
Y' = (A2*X + B2*Y + C2) / (D2*X + E2*Y + F2)
��� ������������:
X' = A1*X*X + B1*X*Y + C1*Y*Y + D1*X + E1*Y + F1
Y' = A2*X*X + B2*X*Y + C2*Y*Y + D2*X + E2*Y + F2
�������������� �� ���������.
� �������� ������� ������������� IFS ��� ���������� ����������� ��������,
���������� ������ ���� (���.1) � "�������" �������-������� (���.2). ������� �
���� ���������� �������� ����� �, ��� ������ �� ��� �������� ������������
��������� ��������������. � �������� ������ ����� �������� ������� ��������
��������������, ������� ���������� ������ �������� ������ �����������.
������� 5 - ��������� ��� ���������� IFS "�������" �������-�������.
�������� IFS ��� "�������" �������-�������. ��� ����� ���������� ������
��������� ����� �������� �� ����� ��������� ������� 640 x 350 (���.5). ���������
����� ������������ ������� A, B, C. �� �������� ���������� ������ 2.1) � �����
�������� ��� �����, �������� ������ - �� ���.5 ��� ������� ADB � BEC. ����
���������� ������ ���� ��������, ����� ��������� ������������ ���� ��������
��������������, ����������� ������� ABC � ADB � BEC:
X' = -0.5*X -0.5*Y + 490 Y' = 0.5*X -0.5*Y + 120
X' = 0.5*X -0.5*Y + 340 Y' = 0.5*X +0.5*Y - 110
��������� ��������� ��������� ������ (�������� X=0 Y=0) � ����������� ��������
�� ��� ���� IFS, ����� ������� �������� �� ������ ������� ����������� ���������,
������������ �� ���.6, ������� ������������ ����� "������" �������-�������. ���
����� (������ ���������) �������� ����� ������������� ���� ��������
��������������.
������� 6 - "������" �������-�������, ����p������ � ������� IFS � �p������������
640x350.
���������� ����� ��������� IFS ��� ������ ���. �������� ������, ��� ��� ������
����� ������ �����, �������� ����� ������ (������ 2.1 ��� 1.). ��� ����������
IFS ����� ���������� ������ ��������� ����� �������� �� ����� ��������� �������
640 x 350 (���.7).
������� 7 - ��������� ��� ���������� IFS �p���� ���.
��� �� ���������� ��������� ����� �������� ��������������, ��������� �� �������
��������������:
X' = 0.333*X + 13.333 Y' = 0.333*Y + 200
X' = 0.333*X + 413.333 Y' = 0.333*Y + 200
X' = 0.167*X + 0.289*Y + 130 Y' = -0.289*X + 0.167*Y + 256
X' = 0.167*X - 0.289*Y + 403 Y' = 0.289*X + 0.167*Y + 71
��������� ���������� ����� ��������� ������� ����� ������� �������� ����� �������
�� ���.8.
������� 8 - �p���� ���, ����p������ � ������� IFS � �p������������ 640x350.
������������� IFS ��� ������ ������� ����������� (�������� ����������) ��������
�� ��������� ���������� �����������, � ������� �� ���������, ��� �����������
���������� ����������� � ���������� IFS �� ������� ������ (�� ���� ������-��� �
���� ���������). �� ��������� ������� ���������� ��������� � ����������� ���
��������, ������� �� ������� ������� �������, � ���������� ����������
�������������, ���������� ��������������, ����������� ������� ������� � �������.
���������, ����� ��������� "�������" �������� ��������� ��� �����������. ���
���� � ����, ���������� ����������� ����� �������� �� ������ ������������,
��������������� ��������� ��������������, �� � �������������� � �������� �������
"�������" ��������, ������� ������ � �������������� ����� ��������� ���������
����������� ����������� �����������. ����������������� ��������, � ���� ������,
������ ��������� ������ �������������� �� �� ����� ��������� �����, ������������
�� ���������� ���� ���������, � � ���������� �� ������������, ��������������
�������, ��������������� ������������ ��������������.
����������������� ������
���������� �.�.,��������� �.�. ����������� ������ ����������� �� �������-������.
������� �. ���������� ��������� � �������� �������.>
����� �. ��������. ���. � ����.-�.: ���,1991.-254�.
Application of fractals and chaos. 1993, Springer-Verlag, Berlin.